Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515123

В  окружность  с  центром  в  точке О  вписан прямоугольный треугольник  АВС с гипотенузой  АВ.  На  большем  катете  ВС взята точка D так, что АС = ВD. Точка  Е — середина дуги АСВ.  

а) Докажите, что угол CED равен 90°.

б) Найдите площадь пятиугольника АОDEC, если известно, что АВ = 13, АС = 5.

Решение.

а) Хорды  BE и  AE равны, поскольку стягивают равные дуги,  \angle EBC=\angle EAC как опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольники  EBD и  EAC равны по двум сторона и углу между ними, откуда

 \angle DEC=\angle BEC минус \angle BED=\angle BEC минус \angle AEC=\angle BEA=90 в степени \circ ,

поскольку опирается на диаметр.

б) Теперь найдём площадь пятиугольника АОDEC:

 S_{ACEDO}=S_{AODE} плюс S_{ACE}=S_{AODE} плюс S_{BDE}=S_{AEB} минус S_{BDO}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 EO умножить на BA минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BO умножить на BD умножить на синус \angle CBA=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 13, знаменатель — 2 умножить на 13 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 13, знаменатель — 2 умножить на 5 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 13 в степени 2 минус 5 в степени 2 , знаменатель — 4 =36.

Ответ: б) 36.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 167.
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники