Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515130

Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB  и  AC.  Вписанная  в  этот  треугольник  окружность с центром в точке Е  касается стороны BC в точке K.  

а) Докажите, что ВК = СМ.                                                              

б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС = 5, ВС = 6, АВ = 4.

Решение.

а) Обозначив точки касания окружностей с лучами  AC и  AB, имеем:

CM=CP=AP минус AC=AS минус AQ минус QC=AT плюс TB плюс BS минус AQ минус QC=

 

=TB плюс BS минус QC=BK плюс BM минус CK=2BK минус CM,

поэтому  CM=BK.

б) Заметим, что

 BK= дробь, числитель — BK плюс BT, знаменатель — 2 = дробь, числитель — BK плюс BT плюс TA плюс KC минус AQ минус AC, знаменатель — 2 = дробь, числитель — BA плюс BC минус AC, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 ,

поэтому  MK=6 минус 2 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 =1.

Тогда:

 S_{OKEM}=S_{OKM} плюс S_{EKM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 MK(d(O,MK) плюс d(E,MK))=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (r плюс r_a)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 левая круглая скобка дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p_{ABC } плюс дробь, числитель — S_{ABC}, знаменатель — p_{ABC минус BC} правая круглая скобка .

По формуле Герона

 S_{ABC}= корень из { дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 }= дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 корень из { 7}.

Окончательно

 S_{OKEM}=12 умножить на дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 корень из { 7} умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 15 плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 правая круглая скобка = дробь, числитель — 3 корень из { 7}, знаменатель — 2 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 3 корень из { 7}, знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 168.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники