Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 515211

На  диагонали  AC  параллелограмма  АВСD  отмечены  точки  Е  и  Р,  причем АЕ : ЕР : РС = 1 : 2 : 1.  Прямые    и    пересекают  стороны  АВ  и  ВС  в  точках  К  и  М соответственно.  

А) Докажите, что КМ параллельна АС

Б) Найдите  площадь  параллелограмма  АВСD,  если  известно,  что  площадь пятиугольника ВКЕРМ  равна 30.

Решение.

а) Пусть  O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда  EO=OP= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AC.

По теореме Менелая для треугольника BCO и прямой MPD имеем  дробь, числитель — BM, знаменатель — MC умножить на дробь, числитель — CP, знаменатель — PO умножить на дробь, числитель — OD, знаменатель — DB =1, откуда  дробь, числитель — BM, знаменатель — MC =2. Аналогично получим, что  дробь, числитель — BK, знаменатель — KA =2. Тогда KM параллельна AC, поскольку треугольники  KBM и  ABC подобны по углу и отношению двух сторон.

б) Площадь  S_{ABCD}=2S_{ABC}. Заметим, что

 S_{CMP}=S_{AKE}= дробь, числитель — AK, знаменатель — AB умножить на дробь, числитель — AE, знаменатель — AC S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 S_{ABC}.

Поэтому

 S_{BKEPM}=S_{ABC} минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 S_{ABC}= дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 S_{ABC}.

Значит,  S_{ABCD}= дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 S_{ABC}=72.

 

Ответ: б) 72.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Треугольники