В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.
а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по AB, по прямой, параллельной OM и по прямой, параллельной OS. Тогда координаты точек будут такими 
где a — высота пирамиды. Найдем ее: 
откуда 
Значит, 
и 
Значит, их скалярное произведение равно 
поэтому 
б) Пусть уравнение плоскости MBF это 
Подставляя туда координаты точек, находим 
(откуда 
) и 
то есть 
Пусть 
Итак, уравнение этой плоскости 
Найдем по формуле угол между ней и плоскостью 
(ABC).
Получим
Ответ: 