а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 2, точка M  — се­ре­ди­на ребра AB, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка F делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MF пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью MBF и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность с цен­тром O впи­са­на в угол, рав­ный 60°. Окруж­ность боль­ше­го ра­ди­у­са с цен­тром O₁ также впи­са­на в этот угол и про­хо­дит через точку O.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са пер­вой.

б)  Най­ди­те длину общей хорды этих окруж­но­стей, если из­вест­но, что ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти равен

В на­ча­ле 2001 года Алек­сей при­обрёл цен­ную бу­ма­гу за 19 000 руб­лей. В конце каж­до­го года цена бу­ма­ги воз­рас­та­ет на 3000 руб­лей. В на­ча­ле лю­бо­го года Алек­сей может про­дать бу­ма­гу и по­ло­жить вы­ру­чен­ные день­ги на бан­ков­ский счёт. Каж­дый год сумма на счёте будет уве­ли­чи­вать­ся на 10%. В на­ча­ле ка­ко­го года Алек­сей дол­жен про­дать цен­ную бу­ма­гу, чтобы через пят­на­дцать лет после по­куп­ки этой бу­ма­ги сумма на бан­ков­ском счёте была наи­боль­шей?

При каких зна­че­ни­ях а урав­не­ние имеет ровно три корня?

Крас­ный ка­ран­даш стоит 17 руб­лей, синий  — 13 руб­лей. Нужно ку­пить ка­ран­да­ши, имея всего 495 руб­лей и со­блю­дая до­пол­ни­тель­ное усло­вие: число синих ка­ран­да­шей не долж­но от­ли­чать­ся от числа крас­ных ка­ран­да­шей боль­ше чем на пять.

а)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 32 ка­ран­да­ша?

б)  Можно ли ку­пить при таких усло­ви­ях 35 ка­ран­да­шей?

в)  Какое наи­боль­шее число ка­ран­да­шей можно ку­пить при таких усло­ви­ях?