Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что 
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 
а) Пусть E — середина KC. Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит, 
Кроме того, 
Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно, 
как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.
б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что 
Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а D — точка пересечения прямой BK с прямой AT.
Из равенства треугольников AMT и BMP (по стороне и двум углам) получаем, что 
а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что 
Значит, B — середина CP.
Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом 
поэтому 
а так как 
AD — средняя линия треугольника BQP. Значит,
Следовательно, 
Ответ: 14.
Приведем решение Ивана Иванова (Владивосток).
а) Пусть AC = n, BC = m. Введём прямоугольную систему координат, поместив начало координат в точку C(0; 0) и направив оси Ox и Oy вправо и вверх соответственно (см. рис.). В этой системе координат имеем:
Векторы 
и 
перпендикулярны по условию, так как являются направляющими векторами для соответствующих перпендикулярных прямых, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
Отсюда находим, что 
тогда 
Значит, 
что и требовалось доказать.
б) Зная координаты точек, принадлежащих прямой MK, найдём уравнение этой прямой: 
Значит, точка P имеет координаты (0; 2m). Зная координаты точек, принадлежащих прямым BK и AP, найдём уравнения этих прямых:
Образовав из полученных уравнений систему и решив её, находим координаты точки пересечения этих прямых 
Расстояние между точкой Q и точкой 
и Q равно
Приведем другое решение Ивана Иванова (Владивосток).
а) Треугольник ABC прямоугольный, CM — медиана, проведённая из вершины прямого угла, поэтому 
Значит, треугольник CMA равнобедренный. Поэтому угол BAC равен углу ACM. Следовательно,
Значит, 
то есть 
поэтому 
б) Рассмотрим треугольник ABC и наклонную KP, пересекающую сторону AB треугольника в точке M. По теореме Менелая 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
Рассмотрим треугольник ACP и наклонную BQ, пересекающую сторону AC треугольника в точке K. По теореме Менелая 
Отсюда получаем, что 
Значит, 
поэтому 
Находим, что 
и по теореме Пифагора 
По тереме синусов с учётом свойств вертикальных и смежных углов получаем:
