Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK : KC = 1 : 2.
а) Докажите, что 
б) Пусть прямые MK и BC пресекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 
а) Пусть E — середина KC. MC = MA, KC = AE,
значит, 
Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит, 
Следовательно, 
б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что
Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а D — точка пересечения прямой BK с прямой AT.
Из равенства треугольников AMT и BMP получаем, что 
а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что 
Значит, B — середина CP.
Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом 
поэтому 
а так как 
AD — средняя линия треугольника BQP. Значит, 
Следовательно, 
Ответ: 