Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.
а) Доказать, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 
площади трапеции ABCD.
а) Пусть прямые BC и AE пересекаются в точке L. Тогда треугольники AED и LEC равны, так как DE = CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Следовательно,
и четырехугольник KCLA — это трапеция. Прямая BE содержит точку пересечения боковых сторон трапеции и середину ее основания AL. Тогда по замечательному свойству трапеции она содержит и середину основания КС — точку O. Тем самым 
б) Поскольку треугольники AED и LEC равны, 
Из подобия треугольников KBC и ABL следует, что 
то есть 
Тогда:
Ответ: 2 : 9.
Приведем другое решение пункта а).
Пусть прямые BC и AE пересекаются в точке L. Тогда треугольники AED и LEC равны, так как DE = CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Следовательно, отрезок BE — медиана ABL. Треугольники ABE и KBO подобны с коэффициентом подобия 
Треугольники LBE и CBO подобны с тем же коэффициентом подобия. Тогда
Можно проще выполнить пункт «а»: после доказательства ΔAED = ΔLEC, замечаем, что AE = EL и четырехугольник KCLA - это трапеция. BE содержит точку пересечения боковых сторон и середину основания, тогда, исходя из замечательного свойства трапеции, она содержит также и середину второго основания - точку O. CO = KO
Хорошая идея, добавили. Спасибо!