Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519478

На доске написано n чисел ai (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri = 2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai − 2. (Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).

а) Может ли среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn больше 2, при этом сумма чисел a1, a2 … an уменьшилась более чем на 2n?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1, r2, …, rn.

Спрятать решение

Решение.

a) Пусть число ai уменьшили на 2. Тогда его уменьшили на \dfrac 2a_i умножить на 100=\dfrac200a_i\%. Следовательно, r_i=\dfrac200a_i. Так как a_i больше или равно 50 для всех i, то  r_i меньше или равно 4 и их среднее арифметическое также не превосходит 4. Поэтому оно не может равняться 5.

б) Рассмотрим два числа: 50 и 150. Если число 50 уменьшить на 2 (т. е. на 4%), а число 150 уменьшить на 2% (то есть на 3), то r_1=4 и r_2=2. Их среднее арифметическое равно 3, что больше 2. При этом сумма чисел уменьшилась на 5, что больше, чем 2n=4.

в) Пусть k чисел из 30 уменьшили на 2, а остальные 30 минус k уменьшили на 2\%. Так как каждое число не меньше 50, каждое из чисел уменьшили по крайней мере на 1 (2\% от 50 равно 1). Таким образом, сумму всех 30-и чисел уменьшили по крайней мере на 2k плюс 30 минус k=k плюс 30. По условию, сумму уменьшили ровно на 40. Следовательно, k плюс 30 меньше или равно 40, откуда k меньше или равно 10.

Напомним, что если число ai уменьшили на 2, то его уменьшили на r_i=\dfrac200a_i\%; и так как a_i больше или равно 50, то r_i меньше или равно 4. Значит,

 дробь: числитель: r_1 плюс умножить на s плюс r_30, знаменатель: 30 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 4k плюс 2 левая круглая скобка 30 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 2k плюс 60, знаменатель: 30 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 2 умножить на 10 плюс 60, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .

Приведём пример набора из 30 чисел, для которого среднее арифметическое чисел r_1,\ldots, r_30 равно \dfrac83. Пусть все числа равны 50, и пусть 10 из этих чисел уменьшили на 2 (т. е. на 4\%), а каждое из оставшихся 20-ти чисел уменьшили на 2\%. Тогда

 дробь: числитель: r_1 плюс умножить на s плюс r_30, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 4 плюс 20 умножить на 2, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: а) нет; б) да; в)  дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Досрочный ЕГЭ по математике (Центр) 30.03.2018
Классификатор алгебры: Числа и их свойства