На доске написано n чисел ai (i = 1, 2, …, n). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на ri%. При этом либо ri = 2%, либо число ai уменьшается на 2, то есть становится равным ai − 2 (какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то — на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел r1, r2, …, rn больше 2, при этом сумма чисел a1, a2 … an уменьшилась более чем на 2n?
в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел r1, r2, …, rn.
Следовательно, 
Поскольку 
для всех i, то 
и их среднее арифметическое также не превосходит 4. Поэтому оно не может равняться 5.
и 
Их среднее арифметическое равно 3, что больше 2. При этом сумма чисел уменьшилась на 5, что больше, чем 
уменьшили на 
Поскольку каждое число не меньше 50, каждое из чисел уменьшили по крайней мере на 1 (
от 50 равно 1). Таким образом, сумму всех тридцати чисел уменьшили по крайней мере на 
По условию, сумму уменьшили ровно на 40. Следовательно, 
откуда 
и поскольку 
то 
Значит, 
равно 
Пусть все числа равны 50, и пусть 10 из этих чисел уменьшили на 2 
), а каждое из оставшихся двадцати чисел уменьшили на 
На доске написали n необязательно различных действительных чисел: 
уменьшили одним из двух способов:
1) на 4, то есть 
или
2) на 4%, то есть 
Пусть 
для всех 
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое n чисел
б) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое n чисел
в) Пусть на доске было написано 22 числа, а после выполнения указанной операции их сумма уменьшилась на 80. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел
При уменьшении вторым способом 
то есть уменьшится на 3,2. Уменьшим к тому же число 100 первым способом. Тогда 
и 
на 4%. Тогда каждое из чисел уменьшили как минимум на 
Таким образом, сумму всех чисел уменьшили как минимум на 
поэтому 
Значит, 
