На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Пусть первоначально на доске 11 раз было записано число 19 и один раз число 55. Тогда сумма этих чисел равна 264. После перестановки цифр на доске 11 раз оказалось записано число 91 и один раз число 55. Сумма этих чисел равна 1056 = 4 · 264.
б) Пусть на доске были написаны двузначные числа 
Обозначим 
По условию 
и 
Тогда разность этих чисел равна 
Но левая часть последнего равенства делится на 9, а правая не делится. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Пусть на доске были написаны двузначные числа Обозначим По условию и нужно найти наибольшее значение числа 
Тогда
Таким образом, необходимо найти наименьшее возможное значение числа A. Поскольку 
получаем 
Поэтому 
откуда 
то есть 
Значит,
Приведём пример, показывающий, что число S действительно может быть равным 1254. Пусть первоначально на доске 13 раз было записано число 19 и один раз число 17. Тогда сумма этих чисел равна 264. После перестановки цифр на доске 13 раз оказалось записано число 91 и один раз число 71. Сумма этих чисел равна 1254.
Ответ: а) да, например, 11 раз число 19 и один раз число 55; б) нет; в) 1254.