Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и AD углы ABD и ACD пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что АВ  =  CD.

б)  Най­ди­те AD, если AB  =  2, BC  =  7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Углы ABD и ACD пря­мые, по­это­му вер­ши­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD лежат на окруж­но­сти диа­мет­ром AD. Зна­чит, АВ  =  CD, по­сколь­ку \widehatADB=\widehatCBD.

б)  Пусть ВН  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тра­пе­ция впи­са­на в окруж­ность, по­это­му она рав­но­бед­рен­ная. Сле­до­ва­тель­но, AD  =  2AH + BC. Тогда

AH=AB ко­си­нус \widehatBAD=AB умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: BC плюс 2AH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 плюс 2AH конец дроби ,

от­ку­да по­лу­ча­ем урав­не­ние 2AH в квад­ра­те плюс 7AH минус 4=0. Его по­ло­жи­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся AH  =  0,5, и тогда AD  =  8.

 

Ответ: 8.

 

При­ве­дем дру­гую идею ре­ше­ния пунк­та б).

Так как BH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABD, квад­рат ка­те­та AB равен про­из­ве­де­нию про­ек­ции этого ка­те­та на ги­по­те­ну­зу, то есть про­ек­ции AH на AD. Но AD = BC плюс 2 AH, от­ку­да по­лу­ча­ем AB в квад­ра­те =AH левая круг­лая скоб­ка 7 плюс 2AH пра­вая круг­лая скоб­ка или 2AH в квад­ра­те плюс 7AH минус 4=0.

 

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ана­ста­сии Бе­ло­усо­вой.

По тео­ре­ме Пто­ле­мея про­из­ве­де­ние диа­го­на­лей че­ты­рех­уголь­ни­ка равно сумме про­из­ве­де­ний про­ти­во­по­лож­ных сто­рон:

AC умно­жить на BD = AD умно­жить на BC плюс AB умно­жить на CD.

Тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, ее диа­го­на­ли равны, тогда

AC в квад­ра­те = AD умно­жить на BC плюс AB умно­жить на CD.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACD по­лу­чим AC в квад­ра­те =AD в квад­ра­те минус CD в квад­ра­те .

Пусть AD  =  x, тогда

7x плюс 4=x в квад­ра­те минус 4 рав­но­силь­но x=8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пто­ле­мея
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь
Виолетта 26.02.2019 20:39

В пунк­те б) можно сде­лать чуть иначе.

Так как BH вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABD, то квад­рат ка­те­та AB равен про­из­ве­де­нию про­ек­ции этого ка­те­та на ги­по­те­ну­зу, т.е. AH, на саму ги­по­те­ну­зу AD, а ги­по­те­ну­за AD = BC+ 2 АН и сразу по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние АВ^2 =AH*(7+2*AH), AH = 0,5, AD=8.

Служба поддержки

До­ба­ви­ли при­ме­ча­ни­ем в текст ре­ше­ния.



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025