СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 520995

В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.

а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямыми и ВМ.

Решение.

а) Отрезки АМ и ВМ являются медианами в равносторонних треугольниках АСD и ВСD соответственно, поэтому прямая СD перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости АМВ. Следовательно, прямые АВ и СD перпендикулярны.

б) Пусть К — середина ребра АВ, а N середина отрезка НС. Тогда MN — средняя линия треугольника СDН, поэтому искомый угол равен углу BMN, а угол BNM прямой.

Обозначим ребро тетраэдра через 6x. Тогда имеем:

 

Ответ: б)

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна, резервный день 25.06.2018. Вариант 992 (C часть)., За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Перпендикулярность прямых, Правильный тетраэдр, Угол между прямыми