Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521074

В прямоугольном треугольнике ABC известно, что BC = 2 умножить на AC. На гипотенузе AB  вне треугольника построен квадрат ABEF.  Прямая CE пересекает AB в точке O.

а) Докажите, что OA : OB = 3 : 4

б) Найдите  отношение площадей треугольников АOC и BOE.

Решение.

а) Будем считать, что  BC=2,  AC=1 — на отношения отрезков или площадей это не влияет, мы просто сжимаем или растягиваем картинку. Тогда  BE=AF= корень из { 5},

 синус \angle CBE= синус (\angle CBA плюс 90 в степени \circ )= косинус \angle CBA= дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }.

Очевидно тогда  косинус \angle CBE= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 } и по теореме косинусов

 CE в степени 2 =4 плюс 5 плюс 2 умножить на 2 умножить на корень из { 5} умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 },

откуда  CE= корень из { 13}. По теореме синусов в треугольнике  CBE имеем

 синус \angle BEC= дробь, числитель — BC синус \angle CBE, знаменатель — CE = дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 65 },

поэтому  косинус \angle BEC= дробь, числитель — 7, знаменатель — корень из { 65 }. Значит

 OE= дробь, числитель — BE, знаменатель — косинус \angle BEO = дробь, числитель — 5 корень из { 13}, знаменатель — 7 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 CE,

 

 BO=EO умножить на синус \angle BEO= дробь, числитель — 5, знаменатель — 7 умножить на корень из { 13} умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 65 }= дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 корень из { 5}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 7 AB,

что и требовалось доказать.

б) Теперь найдём отношение площадей треугольников АOC и BOE:

 дробь, числитель — S_{AOC}, знаменатель — S_{BOE }= дробь, числитель — AO, знаменатель — OB умножить на дробь, числитель — CO, знаменатель — OE = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 =0,3.

 

Ответ: б) 0,3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 172.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Треугольники