Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521098

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение BE:BM, если AM:MB=1:3.

Решение.

а) Пусть прямая касается окружности в точке T, а окружность касается сторон AB и AD в точках Y и X соответственно. Тогда

P_{APM}=AP плюс AM плюс PM=AP плюс AM плюс PT плюс TM=AP плюс AM плюс PX плюс MY=AX плюс AY= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AD плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB=AB.

б) Пусть сторона квадрата равна  4a, тогда  AM=a. Пусть  AP=x, тогда по пункту а)  PM=3a минус x. По теореме Пифагора

a в степени 2 плюс x в степени 2 =(3a минус x) в степени 2 равносильно 8a в степени 2 минус 6ax=0 равносильно x= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 a.

Треугольники  MAP и  KDP подобны по двум углам с коэффициентом

 дробь, числитель — AP, знаменатель — PD = дробь, числитель — дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 a, знаменатель — 4a минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 a = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,

поэтому  DK=2 умножить на AM=2a. Четырёхугольник KDEB — параллелограмм, поскольку его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит BE=2a. Тогда  BE:BM=2a:(4a минус a)=2:3.

 

Ответ: б) 2:3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 175.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники