СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521118

В пирамиде SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА — по 45°.  

а) Докажите, что плоскости ВSС и АSС перпендикулярны.  

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что

Решение.

а) По теореме косинусов для трехгранного угла имеем:

 

 

Значит, плоскости перпендикулярны.

б) Треугольник равнобедренный с углом, противолежащим основанию, поэтому он — равносторонний, Треугольники и равны равнобедренному прямоугольному треугольнику с катетом по первому признаку, поэтому Значит, площадь поверхности пирамиды равна:

Теперь вычислим ее объем. По теореме о трех перпендикулярах проекцией на должна быть такая точка что прямая TB перпендикулярна прямой CB и прямая TA перпендикулярна прямой CA. Тогда  — треугольник с углами и поэтому:

Тогда:

Теперь найдём объём пирамиды SABC:

Радиус вписанной сферы равен:

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 178.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Перпендикулярность плоскостей, Треугольная пирамида, Шар