СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521123

Чук и Гек поочередно извлекают из трех ящиков шары. Своим ходом каждый может взять из любого ящика (но только из одного) любое количество шаров. Выигрывает тот, кто заберет последний шар. Кто из мальчиков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника, если количество шаров в ящиках равно

а) 8, 9 и 9; 

б) 1, 2 и 3; 

в) 8, 9 и 10?

Решение.

Будем считать, что первым ходит Чук.

а) Чук может взять все шары из первого ящика, после чего повторять ходы Гека (сколько Гек берет из одного ящика, столько чук из другого). Тогда у Чука всегда будет ход и он выиграет.

б) После хода Чука останется либо пустой ящик и два, в которых не поровну (тогда Гек делает поровну и выиграет по стратегии Чука из п.а), либо три непустых ящика, в двух из которых поровну. Тогда Гек забирает все из третьего ящика и опять же выигрывает.

в) Чук может сделать позицию (8, 9, 1), после чего играть так: если Гек берет что-то из первых двух ящиков, оставляя в ящике минимум 2 шара(если берет из первого) или 3 шара, если берет из второго, брать столько же из другого. В результате всегда будет оставаться позиция Разберем случаи, когда так походить нельзя:

1. если Гек берет один шар из третьего ящика, Чук берет шар из второго и оставляет Геку позицию затем играет по стратегии из п.а);

2. если Гек берет все шары из какого-либо ящика (первого или второго), Чук берет все кроме одного шара из другого ящика (там есть хотя бы 2 шара, поэтому так взять можно);

3. если Гек оставляет в одном из ящиков 1 шар, Чук берет все шары из другого и оставляет позицию (1, 0, 1), в которой легко выигрывает.

 

Ответ: а) Чук; б) Гек; в) Чук.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 178.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства