Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521141

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС = АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

а) Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ = 6, ВС = 5, СА = 3.

Решение.

а) Имеем:

\angle CPB плюс \angle CMB=\angle CAB плюс 180 в степени \circ минус \angle CMA=180 в степени \circ ,

потому что треугольник ACM равнобедренный. Тогда по признаку вписанного четырехугольника BMCP — вписанный.

б) По теореме косинусов для треугольника CAB имеем:

25=36 плюс 9 минус 2 умножить на 3 умножить на 6 умножить на косинус \angle CAB,

откуда cos\angle CAB= дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 . Тогда в равнобедренном треугольнике AMC находим:

AM=2AC косинус \angle CAM= дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 ,

 

BM=BA минус AM= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 .

Далее, из-за симметрии BP=BA=6, CP=CA=3.

 

Применим к четырехугольнику CPBM теорему Птолемея. Имеем:

MP умножить на CB=CP умножить на MB плюс CM умножить на PB,

откуда 5MP=8 плюс 18, MP=5,2.

 

Ответ: 5,2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 180.
Методы геометрии: Теорема Птолемея, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники