СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521189

В конус впи­сан ци­линдр так, что ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра лежит на ос­но­ва­нии ко­ну­са, а окруж­ность верх­не­го ос­но­ва­ния при­над­ле­жит бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Объем ко­ну­са равен 72.

а) Найти объем ци­лин­дра, верх­нее ос­но­ва­ние ко­то­ро­го делит вы­со­ту ко­ну­са по­по­лам.

б) Найти наи­боль­ший объем впи­сан­но­го ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са за вы­со­ту за за и  — ра­ди­ус и вы­со­ту ци­лин­дра. Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем верх­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра будет сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка, по­это­му ра­ди­ус ци­лин­дра вдвое мень­ше ра­ди­у­са ко­ну­са. Вы­со­та ци­лин­дра — тоже по­ло­ви­на вы­со­ты ко­ну­са. Объем ко­ну­са равен:

от­сю­да:

 

б) В осе­вом се­че­нии об­ра­зу­ют­ся два по­доб­ных тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Зна­чит,

 

Зна­чит, Объем ци­лин­дра равен:

Нужно мак­си­ми­зи­ро­вать Возь­мем про­из­вод­ную по

Край­ние зна­че­ния можно не про­ве­рять ( или там объем равен нулю). Имеем:

 

Ответ: а) 27; б) 32.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 186.
Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Конус, Объем тела, Цилиндр