Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521191

Равнобедренные треугольники АВС (АВ  =  ВС) и KLM (KM =  LM) расположены так, что М — середина АС, В — середина KL, прямая KL параллельна прямой AC. Точки R — точка пересечения KM и АВ, Т — ВС и МL.

а) Доказать, что прямая RT параллельна прямой АС.

б) Найти площадь треугольника АВС, если  дробь, числитель — KL, знаменатель — AC =3 и площадь четырехугольника BTMR равна 24.

Решение.

а) Прямая BM — высота обоих треугольников. Значит, точки K и L, а также точки A и C симметричны относительно нее. Значит, симметричны друг другу и прямые KM и ML, BA и BC. Тогда симметричны друг другу и точки их пересечения, то есть R и T. А Значит, прямая RT перпендикулярна прямой BM, то есть прямая RT параллельна прямой AC.

б) Имеем:

KL:AC=KB:AM=BR:RA

из подобия треугольников KBR и MRA по двум углам (вертикальным при вершине R и накрест лежащим при вершинах K и M. Тогда и площади треугольников RTM и BTR относятся как 1:3 — у них одно основание RT, а отношение их высот равно BR:RA. Значит, S_{RTM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 умножить на 24=6, а треугольник MKL подобен треугольнику MRT с коэффициентом MK:MR=4, поэтому его площадь в 4 в степени 2 =16 раз больше. Наконец, у треугольника ABC высота та же, а основание в KL:AC=3 раза меньше, поэтому его площадь равна 32.

 

Ответ: б) 32.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 186.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники