Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521206

Прямоугольный треугольник АВС расположен относительно трех концентрических окружностей  K_1 ,  K_2 и  K_3 радиусов 3, 5 и 6 так, что: 1) гипотенуза АВ является хордой  K_2 и касается окружности  K_1; 2) вершина С принадлежит окружности  K_3.

а) Найти площадь треугольника АВС.

б) Доказать, что центр окружностей и вершина С лежат по разные стороны от гипотенузы.

Решение.

а) Введем координаты так, чтобы центр окружностей был в начале координат, а хорда AB была параллельна оси OY и лежала для определенности во 2 и 3 четвертях. Тогда уравнение AB это x= минус 3, поэтому абсциссы точек A и B находятся так — \pm корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }=\pm 4. Пусть A( минус 3;4), B( минус 3; минус 4). Пусть, далее, точка C имеет координаты a,b. Тогда во-первых a в степени 2 плюс b в степени 2 =36, а во-вторых:

(a плюс 3) в степени 2 плюс (b минус 4) в степени 2 плюс (a плюс 3) в степени 2 плюс (b плюс 4) в степени 2 =8 в степени 2

(теорема Пифагора для треугольника ABC). Упрощая, получим:

2a в степени 2 плюс 2b в степени 2 плюс 12a плюс 50=64.

Учитывая a в степени 2 плюс b в степени 2 =36, находим 72 плюс 12a плюс 50=64, b= минус дробь, числитель — 29, знаменатель — 6 . Значит, точка C лежит левее AB, а центр окружностей правее.

Высота из вершины C будет равна \abs{ минус дробь, числитель — 29, знаменатель — 6 минус ( минус 3)}= дробь, числитель — 11, знаменатель — 6 , поэтому площадь треугольника равна  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 11, знаменатель — 6 умножить на 8= дробь, числитель — 22, знаменатель — 3 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 22, знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 188.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Треугольники