Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521245

Окружности \omega_1 и \omega_2 с центрами в точках O_1 и  O_2 соответственно касаются друг друга в точке А, при этом O_1 лежит на \omega_2. АВ — диаметр \omega_1. Хорда ВС первой окружности касается \omega_2 в точке Р. Прямая АР вторично пересекает \omega_1 в точке D.

а) Докажите, что АР = DP.

б) Найдите площадь четырехугольника АВDС, если известно, что АС = 4.

Решение.

а) Радиусы окружностей отличаются вдвое, назовем O_2 P=r, O_1D=2r. Треугольники AO_2P и AO_1D подобны (они равнобедренные с общим углом A) поэтому

AP:AD=AO_2:AO_1=r:2r=1:2,

то есть P — середина AD.

б) Заметим, что \angle BPO_2=90 в степени \circ как угол между касательной и радиусом. Значит,

BP= корень из { BO_2 в степени 2 минус O_2P в степени 2 }= корень из { 9r в степени 2 минус r в степени 2 }=r корень из { 8}.

Треугольники BCA и BPO_2 подобны по двум углам ( \angle BCA=90 в степени \circ , потому что опирается на диаметр большой окружности) с коэффициентом  дробь, числитель — AB, знаменатель — O_2B = дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 , поэтому 4=CA= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 r. Итак, r=3. Имеем:

S_{ACDB}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AD умножить на BC умножить на синус \angle (AD,BC)=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2AP умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 BP умножить на синус \angle APB= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 умножить на ( дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AP умножить на BP умножить на синус \angle APB)=

 

= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 S_{ABP}= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BP умножить на AC= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 умножить на 3 корень из { 8} умножить на 4=32 корень из { 2}.

 

Ответ: 32 корень из 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 193.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники