Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521252

Точки М и Р — середины сторон ВС и АD выпуклого четырехугольника АВСD. Диагональ АС проходит через середину отрезка МР.

а) Докажите, что площади треугольников АВС и АСD равны.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, если известно, что АВ = 12, ВС = 10, а площадь четырехугольника АМСР равна 60.

Решение.

а) Имеем:

d(B,AC)=2 d(M,AC),

 

d(D,AC)=2 d(P,AC).

Опустим перпендикуляры MH_1 и PH_2 на AC. Прямоугольные треугольники MH_1O и PH_2O равны по гипотенузе и острому углу, поэтому MH_1=PH_2, а тогда и d(B,AC)=d(D,AC). Значит, у треугольников ABC и ADC с общим основанием AC одинаковые высоты. Тогда их площади равны.

б) Поскольку у треугольников AMC и APC совпадает основание AC и одинаковы высоты, их площади равны. Значит,

S_{AMC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{AMCP}=30.

Тогда:

S_{ABC}=2S_{AMC}=60

(медиана разбивает площадь треугольника пополам). Тогда:

60= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AB умножить на BC умножить на синус \angle ABC,

откуда  синус \angle ABC=1 и \angle ABC=90 в степени \circ . Тогда:

AM= корень из { AB в степени 2 плюс BM в степени 2 }=13;

 

r_{ABM}= дробь, числитель — S_{ABM}, знаменатель — p_{ABM }= дробь, числитель — 60, знаменатель — 12 плюс 5 плюс 13 =2.

Ответ: 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 194.
Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Треугольники