Пусть Sn — сумма п первых членов арифметической прогрессии (
). Известно, что 
а) Укажите формулу n‐го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму 
.
в) Найдите наименьшее n, при котором будет квадратом целого числа.
а) Имеем:
б) При увеличении 
суммы сначала будут уменьшаться (первые несколько членов прогрессии отрицательны), а потом начнут увеличиваться. Поэтому наименьшая по модулю сумма будет либо последняя отрицательная, либо первая положительная, либо, наконец, 
Вычислим их. 
Наименьшее по модулю будет 
ее модуль 
в) Используем общую формулу для суммы. Имеем:
Допустим, что 
и 
кратны 
Тогда и
кратно Значит, эти два множителя могут иметь общий множитель только 5 или 25. Тогда либо они оба квадраты, либо они оба упятеренные квадраты. При этом 
поскольку до этого момента суммы отрицательны. Будем пробовать на роль все квадраты и упятеренные квадраты подряд. Имеем:
не квадрат;
не упятеренный квадрат;
квадрат.
Итак, минимальное такое 
это 
Ответ: а) 
б) −12 в) 25.
