Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521266

Дан квадрат АВСD. На сторонах АВ и ВС внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники АВК и ВСР.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой .

б) Найдите площадь четырехугольника РКВС, если известно, что АВ = 2.

Решение.

а) Из равнобедренного треугольника DAK имеем:

\angle KDA= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени \circ минус \angle DAK)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени \circ минус 90 в степени \circ минус 60 в степени \circ )=15 в степени \circ .

Из равнобедренного треугольника DPC имеем:

\angle PDC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени \circ минус \angle DCP)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (180 в степени \circ минус (90 в степени \circ минус 60 в степени \circ )=75 в степени \circ ,

поэтому:

\angle PDA=90 в степени \circ минус 75 в степени \circ =15 в степени \circ =\angle KDA.

Значит, P лежит на прямой DK.

 

б) Имеем:

S_{BKPC}=S_{CPB} плюс S_{PBK}= дробь, числитель — BC в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 PB умножить на BK умножить на синус \angle PBK=

 

= корень из { 3} плюс 2 синус (\angle ABC минус \angle PBC плюс \angle KBA)= корень из { 3} плюс 2 синус (90 в степени \circ минус 60 в степени \circ плюс 60 в степени \circ )= корень из { 3} плюс 2.

Ответ:2 плюс корень из 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 196.
Классификатор планиметрии: Треугольники