СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 521359

На доске записано несколько (не менее трёх) различных натуральных чисел, меньших 100, среди которых есть число 51.

Известно, что сумма любых двух из записанных чисел делится на какое‐либо из оставшихся чисел (*).

а) Может ли на доске быть написано ровно три числа?

б) Может ли на доске быть написано ровно 51 число?

в) Петя записал на доске все числа от 1 до 99 и проверил, что для них выполняется условие (*). Миша стёр одно число, после чего условие (*) перестало выполняться. Какое число мог стереть Миша?

Решение.

а) Да, например 17, 34, 51.

 

б) Да, например все нечетные и число 2. Любые суммы двух нечетных делятся на 2, 2 + 1 делится на 3, а все прочие суммы делятся на .

 

в) Очевидно, он мог стереть число 1 (поскольку 99 + 2 больше ни на что не делилось).

 

Если он стер 2, то 1 + 3 ни на что больше не делится.

 

Если он стер  — нечетное простое число, то 1 + (p − 1) ни на что больше не делится.

 

Если же он стер составное число, то свойство сохранится. В самом деле, любая сумма делится на 1. Если же использовать сумму 1 + (n − 1), то она будет делиться на любой делитель n, кроме единицы и самого числа (они под запретом). n − 1 не может быть делителем n при n > 2.

 

Ответ: а) Да, например 17, 34, 51; Да, все нечетные и число 2; 1 или любое простое число, отличное от 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 203.