СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521493

На боковых ребрах EA, EB, EC правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно, причем EM : EA = 1 : 2, EN : EB = 2 : 3, EK : EC = 1 : 3 .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K.

б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?

Решение.

а) Проведем через точку прямую, параллельную и В грани продлим прямую до пересечения с этой прямой в точке после чего соединим и в грани Пусть пересекает в точке Тогда — искомое сечение.

б) Продлим прямую до пересечения с в точке и прямую до пересечения с в точке откуда то есть Поскольку треугольники и равны по стороне и двум углам, то

 

Поскольку треугольники и подобны по двум углам с коэффициентом то

откуда

 

Теперь вычислим объем, используя факт об отношении объемов треугольных пирамид с общим трехгранным углом.

 

 

Ответ: 5 : 58.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 216.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем как сумма объемов частей, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки