Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521681

Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.

а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.

б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.

Решение.

а) Вывернем задачу. Обозначим за K_1 середину дуги CB, тогда CK=KB. Опустим перпендикуляр KH на AC и отметим на AC точку E_1 так, что CH=HE_1. Тогда в треугольнике CKE высота совпадает с медианой и CK=KE. Значит, у треугольников AE_1K и ABK равны две стороны и угол не между ними. Такие треугольники могут быть равны или иметь углы, составляющие в сумме 180 в степени \circ . Второе невозможно, поскольку \angle AEK плюс \angle ABK больше \angle ACK плюс \angle ABK=180 в степени \circ . Значит, треугольники равны, то есть AE_1=AB, поэтому построенная таким образом точка совпадает с точкой E, перпендикуляр- с перпендикуляром из задачи и точка K_1 — с точкой K, то есть AK — биссектриса.

 

б) S_{ABKE}=2S_{ABK}=AB умножить на AK умножить на синус \angle BAK.

Пусть L — основание биссектрисы. Тогда BL:CL=5:11, откуда BL= дробь, числитель — 25, знаменатель — 8 , CL= дробь, числитель — 55, знаменатель — 8 . По формуле для биссектрисы имеем AL= корень из { AB умножить на AC минус BL умножить на LC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 корень из { 55 умножить на 39}. По теореме о пересекающихся хордах LK= дробь, числитель — CL умножить на LB, знаменатель — AL = дробь, числитель — 25 корень из { 55}, знаменатель — 8 корень из { 39 }

и AK=AL плюс LK= дробь, числитель — 8 корень из { 55}, знаменатель — корень из { 39 }.

Наконец, по теореме косинусов в треугольнике ABC имеем  косинус \angle CAB= дробь, числитель — 25 плюс 121 минус 100, знаменатель — 110 = дробь, числитель — 23, знаменатель — 55 , Значит, 1 минус 2 синус в степени 2 \angle LAB= дробь, числитель — 23, знаменатель — 55 , откуда  синус \angle LAB= дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 55 }.

Окончательно S_{ABKE}= дробь, числитель — 160, знаменатель — корень из { 39 }.

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 160, знаменатель — корень из { 39 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 225.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства хорд, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники