Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521817

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке Р, а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К.

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.

Решение.

а) Поскольку D лежит на серединном перпендикуляре к AB, треугольник ADB равнобедренный и DO в нем — медиана, биссектриса и высота.

 

Пусть \angle DAB=\angle ABD=\alpha, тогда \angle ODP=90 в степени \circ минус \alpha, \angle POD=\alpha, \angle DOK=180 в степени \circ минус \alpha=180 в степени \circ минус \angle KBD откуда четырехугольник DOKB — вписанный.

 

б) Сразу заметим, что AB в степени 2 =AC в степени 2 плюс BC в степени 2 , поэтому треугольник — прямоугольный, поэтому  синус \alpha= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 и  косинус \alpha= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . Значит, DA=5: дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 , длина же самого серединного перпендикуляра равна  дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 .

 

Вычислим теперь радус окружности, вписанной в ADB. r= дробь, числитель — 2S_{ADB}, знаменатель — AD плюс DB плюс AB = дробь, числитель — 10 умножить на дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 , знаменатель — { 10 плюс 2 умножить на дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 .

 

Тогда OB= корень из { 5 в степени 2 плюс дробь, числитель — 25, знаменатель — 9 }= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 корень из { 10}.

 

Наконец, R_{DOB}= дробь, числитель — OB, знаменатель — 2 синус \angle BDO = дробь, числитель — дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 корень из { 10}, знаменатель — 2 косинус \alpha = дробь, числитель — 25 корень из { 10}, знаменатель — 24 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 25 корень из { 10}, знаменатель — 24 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 234.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники