В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MС.
а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.
б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.
а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α параллельна ребру MC, поэтому она пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, KL — средняя линия треугольника BMC, а L — середина BC. Так как QK || AB, плоскость α пересекает основание ABC пирамиды по средней линии, поэтому плоскость α проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO — параллелограмм.
б) Отметим точку F — середину отрезка QK — и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому 
По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому
и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда 
и 
Таким образом, искомая площадь 
Ответ: 
Примечание.
В задаче рассматривается сечение треугольной пирамиды MABC, а не четырехугольной пирамиды MABCD.