Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 523381

а) Можно ли в числителе и знаменателе дроби  дробь: числитель: 1*3*6*15, знаменатель: 1*4*8*16 конец дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна  дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ?

б) Можно ли в числителе и знаменателе дроби  дробь: числитель: 1*3*6*9*12, знаменатель: 1*4*8*12*16 конец дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна  дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение \left| дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1*3*6*9*12, знаменатель: 1*4*8*12*16 конец дроби |, если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −?

Спрятать решение

Решение.

а) Да. Например,  дробь: числитель: 1 плюс 3 плюс 6 минус 15, знаменатель: 1 плюс 4 плюс 8 минус 16 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Рассмотрим какую-либо возможную расстановку знаков в знаменателе 1*4*8*12*16 данной дроби. Имеем 1\pm4\pm8\pm12\pm16=1 плюс 4 левая круглая скобка \pm1\pm2\pm3\pm4 правая круглая скобка , где знаки + и − расставлены соответствующим образом. Сумма всех чисел в последних скобках чётна и может принимать значения вида 2m, где m — некоторое целое число от −5 до 5. Значит, знаменатель дроби равен 8m плюс 1=7m плюс левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка . Среди всех возможных значений m знаменатель делится на 7 лишь при m= минус 1. Следовательно, если знаки расставлены так, что данная дробь равна  дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби , то её знаменатель 1*4*8*12*16 равен −7. Тогда её числитель 1*3*6*9*12 равен −4. Пришли к противоречию, так как число 1\pm3\pm6\pm9\pm12 всегда при делении на 3 даёт остаток 1, а число −4 — остаток 2. Значит, расставить знаки требуемым образом невозможно.

в) Аналогично доказанному в пункте б) получаем, что при всевозможных расстановках знаков + и − выражение примет вид \left| дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 6k плюс 1, знаменатель: 8m плюс 1 конец дроби |, где k и m пробегают все целые числа от −5 до 5. Поскольку  дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 6m плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 8m плюс 1 конец дроби , получаем \left| дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 6k плюс 1, знаменатель: 8m плюс 1 конец дроби |=\left| дробь: числитель: 6 левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: 8m плюс 1 конец дроби |. При фиксированном значении m это выражение минимально при k=m. В этом случае оно равно \left| дробь: числитель: 1, знаменатель: 32m плюс 4 конец дроби |. Так как m пробегает все целые числа от −5 до 5, максимум модуля 32m плюс 4 достигается при m=5. Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение \left| дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1*3*6*9*12, знаменатель: 1*4*8*12*16 конец дроби |, если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −, равно  дробь: числитель: 1, знаменатель: 164 конец дроби . Оно достигается при k=m=5 — в случае, когда каждый из знаков * заменён на +.

 

Ответ: а) Да; б) Нет; в)  дробь: числитель: 1, знаменатель: 164 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 523381: 523406 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства