Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 523406

а)  Можно ли в числителе и знаменателе дроби  дробь: числитель: 2*3*5*14, знаменатель: 2*4*5*7 конец дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ?

б)  Можно ли в числителе и знаменателе дроби  дробь: числитель: 1*4*8*12*16, знаменатель: 1*5*10*15*20 конец дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна  дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби ?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение \left| дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 1*4*8*12*16, знаменатель: 1*5*10*15*20 конец дроби |, если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например,  дробь: числитель: 2 плюс 3 плюс 5 минус 14, знаменатель: 2 плюс 4 минус 5 минус 7 конец дроби = дробь: числитель: минус 4, знаменатель: минус 6 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

б)  Рассмотрим какую-либо возможную расстановку знаков в знаменателе 1*5*10*15*20 данной дроби. Имеем 1\pm5\pm10\pm15\pm20=1 плюс 5 левая круглая скобка \pm1\pm2\pm3\pm4 правая круглая скобка , где знаки + и − расставлены соответствующим образом. Сумма всех чисел в последних скобках чётна и может принимать значения вида 2m, где m  — некоторое целое число от −5 до 5. Значит, знаменатель дроби равен 10m плюс 1=9m плюс левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка . Среди всех возможных значений m знаменатель делится на 9 лишь при m= минус 1. Следовательно, если знаки расставлены так, что данная дробь равна  дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби , то её знаменатель 1*5*10*15*20 равен −9. Тогда её числитель 1*4*8*12*16 равен −4. Пришли к противоречию, так как число 1\pm4\pm8\pm12\pm16 всегда при делении на 4 даёт остаток 1, а число −4  — остаток 0. Значит, расставить знаки требуемым образом невозможно.

в)  Аналогично доказанному в пункте б) получаем, что при всевозможных расстановках знаков + и − выражение примет вид \left| дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 8k плюс 1, знаменатель: 10m плюс 1 конец дроби |, где k и m пробегают все целые числа от −5 до 5. Поскольку  дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 8m плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: 10m плюс 1 конец дроби , получаем \left| дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 8k плюс 1, знаменатель: 10m плюс 1 конец дроби |=\left| дробь: числитель: 8 левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: 10m плюс 1 конец дроби |. При фиксированном значении m это выражение минимально при k=m. В этом случае оно равно \left| дробь: числитель: 1, знаменатель: 50m плюс 5 конец дроби |. Так как m пробегает все целые числа от −5 до 5, максимум модуля 50m плюс 5 достигается при m=5. Значит, наименьшее значение, которое может принимать выражение \left| дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 1*4*8*12*16, знаменатель: 1*5*10*15*20 конец дроби |, если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −, равно  дробь: числитель: 1, знаменатель: 255 конец дроби . Оно достигается при k=m=5  — в случае, когда каждый из знаков * заменён на +.

 

Ответ: а) Да; б) Нет; в)  дробь: числитель: 1, знаменатель: 255 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 523381: 523406 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства