Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 525140

Решите неравенство  дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть 2 в степени x =t, тогда неравенство примет вид  дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant1. Решим это неравенство методом интервалов:

 дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20 минус t плюс 32, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 7t плюс 12, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 32,3 меньше или равно t\leqslant4. конец совокупности .

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

 совокупность выражений 2 в степени x больше 32,3\leqslant2 в степени x \leqslant4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 5, логарифм по основанию 2 3 меньше или равно x\leqslant2. конец совокупности .

Ответ:  левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 3;2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Приведём решение методом рационализации.

Выполним преобразования:

 дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби минус дробь: числитель: 2 в степени x минус 32, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 12, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 в степени 5 конец дроби \geqslant0.

Поскольку показательная функция с основанием, большим 1, является монотонно возрастающей, можно заменить каждую скобку выражением того же знака:

 дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 в степени 5 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 5 конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 3 меньше или равно x\leqslant2,x больше 5. конец совокупности .

Ответ:  левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 3;2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2, Задания 15 (С3) ЕГЭ 2019
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов