Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525141

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.

Решение.

а) Заметим, что MN — средняя линия трапеции по определению, значит, MN\parallel AD. Пусть \angle{BAD}=\alpha, тогда \angle{BMN}=\alpha}, а \angle{CBA}=180 в степени circ минус \alpha. По свойству вписанного в окружность четырехугольника, \angle{PQC}=180 в степени circ минус \angle{PBC}. Угол PQN является смежным с ним, значит, \angle{PQN}=180 в степени circ минус \angle{PQC}=180 в степени circ минус \alpha. Поскольку сумма углов PMN и PQN равна 180°, около четырехугольника PQNM можно описать окружность.

б) Требуется найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника MPQ. Эта окружность описана и вокруг четырехугольника PQNM, а значит, и вокруг треугольника MPN. Найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника MPN. Для этого воспользуемся обобщенной теоремой синусов: R = дробь, числитель — PN, знаменатель — 2 синус \alpha .

Найдем PN. По условию, треугольник CDP является прямоугольным, CN = ND, значит, PN является медианой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Поэтому PN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CD=14.

Найдем синус угла α. Проведём высоты трапеции BH и CK. Пусть АН = x. Поскольку высоты, проведенные из точек В и С к основанию AD равны, можно составить уравнение на x:

25 в степени 2 минус x в степени 2 =28 в степени 2 минус (17 минус x) в степени 2 равносильно 625 минус x в степени 2 =784 минус 289 плюс 34x минус x в степени 2 равносильно x= дробь, числитель — 65, знаменатель — 17 .

Из прямоугольного треугольника AНB по теореме Пифагора находим

BH= корень из { 25 в степени 2 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 65, знаменатель — 17 правая круглая скобка в степени 2 } = дробь, числитель — 420, знаменатель — 17 ,

а тогда

 синус \alpha = дробь, числитель — BH, знаменатель — BA = дробь, числитель — 420, знаменатель — 17 :25 = дробь, числитель — 84, знаменатель — 85 .

Окончательно имеем:

R= дробь, числитель — 14, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 84 {85, знаменатель — } = дробь, числитель — 85, знаменатель — 12 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 85, знаменатель — 12 .

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружность, описанная вокруг четырехугольника