Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 525381

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x в квадрате плюс 2x плюс 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px минус левая круглая скобка 0,5x в квадрате плюс 2x плюс 6 правая круглая скобка . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Спрятать решение

Решение.

Найдем прибыль за первый год после окончания строительства. При p = 10 для прибыли получаем величину 10x минус левая круглая скобка 0,5x в квадрате плюс 2x плюс 6 правая круглая скобка или  минус 0,5x в квадрате плюс 8x минус 6. Наибольшее значение данного выражения достигается при производстве x=8 тыс. ед. продукции и составляет  минус 0,5 умножить на 8 в квадрате плюс 8 умножить на 8 минус 6 = 26 млн. руб. Продолжая вычисления для p = 11, 12 и 13, можно найти прибыль в последующие годы и убедиться, что через 4 года общая прибыль составит 159 млн. руб. Приведем решение в чуть более общем виде.

Ежегодно максимальная прибыль является наибольшим значением квадратичной функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 0,5x в квадрате плюс левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка x минус 6, достигается в точке p минус 2 и равна

f левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка = минус 0,5 левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка минус 6 = 0,5 левая круглая скобка p минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 6.
Тогда общая прибыль за n первых лет составит:

1 год: 0,5 умножить на 8 в квадрате минус 6 = 26 млн. руб.,

2 год: 0,5 умножить на 9 в квадрате минус 6 = 34,5 млн. руб. (общая 60,5 млн. руб.),

3 год: 0,5 умножить на 10 в квадрате минус 6 = 44 млн. руб. (общая 104,5 млн. руб.),

4 год: 0,5 умножить на 11 в квадрате минус 6 = 54,5 млн. руб. (общая 159 млн. руб.).

 

Тем самым, строительство окупится за 4 года.

 

Ответ: за 4 года.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 525381: 527253 Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.04.2019. Досрочная волна, резервная волна, Задания 17 (С5) ЕГЭ 2019
Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор