СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 525382

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение на отрезке

Решение.

Уравнение имеет решения при любом a из множества значений функции определённой на отрезке Найдём множество значений функции на данном отрезке.

Вычислим производную: Решим уравнение

 

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найдем значение функции на концах отрезка и в точке максимума:

 

Для вычисления значений синуса и косинуса величины обратимся к рисунку: тангенс отмеченного острого угла прямоугольного треугольника равен 2, синус и косинус этого угла находим как отношение катетов к гипотенузе.

 

Итак, функция на отрезке возрастает, принимая значения из отрезка а на отрезке убывает, принимая значения из отрезка Поэтому уравнение имеет единственное решение при и

 

Ответ:

 

 

Приведем другое решение.

Преобразуем выражение, задающее функцию путем введения вспомогательного угла:

где

Заметим, что и так как функция достигает своего максимального значения 1 в нуле, то функция достигает максимума равного в точке Остается найти значения функции на концах отрезка:

 

Таким образом, функция на отрезке возрастает, принимая значения из отрезка а на отрезке убывает, принимая значения из отрезка Поэтому уравнение имеет единственное решение при и

 

 

Приведём ещё одно решение.

Пусть Тогда а уравнение записывается в виде

Введём систему координат zOy и отметим на окружности ω, задаваемой уравнением точки и соответствующие повороту точки с координатами (1; 0) на угол и соответственно (см. рис.). Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке тогда и только тогда, когда прямая l, задаваемая уравнением имеет с меньшей дугой АВ окружности ω единственную общую точку.

Пусть прямая l проходит через точку А при проходит через точку В при и касается окружности ω при Тогда искомыми являются все значения параметра из полуинтервала и

Подставляя координаты точек A и B в уравнение прямой l, находим:

Значение определим следующим образом: касанию прямой и окружности соответствует единственное решение системы уравнений и то есть единственное решение уравнения Приведем его к виду и найдем дискриминант который обращается в нуль при Касанию прямой и окружности в I четверти соответствует положительное значение параметра, тем самым,

Итак: и

Источник: ЕГЭ — 2019. До­сроч­ная волна. Резервный день 10.04.2019