Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 1 № 525445
i

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что АС  =  36, ВС  =  15, а угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Найдём ги­по­те­ну­зу AB:

AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 в квад­ра­те плюс 15 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1296 плюс 225 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1521 конец ар­гу­мен­та =39.

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник окруж­но­сти равен по­ло­ви­не раз­но­сти суммы ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы:

r= дробь: чис­ли­тель: a плюс b минус c, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36 плюс 15 минус 39, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =6.

Ответ: 6.

 

При­ве­дем ре­ше­ние Мар­се­ля Да­вы­до­ва (Аба­кан).

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов:

S = дробь: чис­ли­тель: AC умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36 умно­жить на 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 18 умно­жить на 15 = 270.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

AB = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 в квад­ра­те плюс 15 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1296 плюс 225 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1521 конец ар­гу­мен­та =39,

от­ку­да по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка p= дробь: чис­ли­тель: 36 плюс 15 плюс 39, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =45. Далее имеем:

r = дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 270, зна­ме­на­тель: 45 конец дроби = 6.

Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, Санкт-Пе­тер­бург, 19.03.2019. Ва­ри­ант 2
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 5.1.5 Впи­сан­ная и опи­сан­ная окруж­ность тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025