Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 70 мг и со­дер­жит 4% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,05 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте пяти ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

На диа­грам­ме по­ка­за­на сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Том­ске за каж­дый месяц 1973 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся ме­ся­цы, по вер­ти­ка­ли  — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по при­ведённой диа­грам­ме, сколь­ко ме­ся­цев, от на­ча­ла года до ок­тяб­ря вклю­чи­тель­но, сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра пре­вы­ша­ла −8 гра­ду­сов Цель­сия.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 76 тен­ни­си­стов, среди ко­то­рых 7 спортс­ме­нов из Рос­сии, в том числе Ана­то­лий Моск­вин. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ана­то­лий Моск­вин будет иг­рать с каким-либо тен­ни­си­стом из Рос­сии.

Ре­ши­те урав­не­ние

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что АС  =  36, ВС  =  15, а угол C равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник окруж­но­сти.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x) и ка­са­тель­ная к этому гра­фи­ку, про­ведённая в точке x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

В пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед впи­са­на сфера с ра­ди­у­сом 5. Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где T₁  — тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на), T₂  — тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля КПД этого дви­га­те­ля будет не мень­ше если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка К? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 60 км, од­но­вре­мен­но вы­еха­ли ав­то­мо­би­лист и ве­ло­си­пе­дист. Ав­то­мо­би­лист в час про­ез­жа­ет на 90 км боль­ше, чем ве­ло­си­пе­дист. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что он при­был в В на 5 часов 24 ми­ну­ты позже ав­то­мо­би­ли­ста. Ответ дайте в км/ч.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [−4,5; 0].

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды KLMN лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник LMN с ка­те­та­ми и Точка A  — се­ре­ди­на ребра KM. На ребре MN вы­бра­на точка B так, что а на ребре LN вы­бра­на точка C так, что Плос­кость ABC пе­ре­се­ка­ет ребро LK в точке D. Рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой BC равно

а)  До­ка­жи­те, что D  — се­ре­ди­на ребра LK.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­сы AD и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, ве­ли­чи­на угла AOE со­став­ля­ет 60°.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка BDOE можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если а

15 ян­ва­ря Гоша взял в кре­дит 6 мил­ли­о­нов руб­лей на 6 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го фев­ра­ля, ап­ре­ля и июня долг дол­жен быть на две де­вя­тых части от ис­ход­ной суммы долга мень­ше, чем ве­ли­чи­на долга 15 числа преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — 15-го марта, мая и июля долг дол­жен быть на одну де­вя­тую часть от ис­ход­ной суммы долга мень­ше, чем ве­ли­чи­на долга 15 числа преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

Из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та на 600 тысяч руб­лей боль­ше суммы, взя­той в кре­дит. Най­ди­те r.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на

Настя до­би­ра­лась от дома до ин­сти­ту­та на своем ав­то­мо­би­ле с по­сто­ян­ной ско­ро­стью 80 км/ч. Об­рат­но она ехала с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, ко­то­рая из­ме­ря­лась целым чис­лом ки­ло­мет­ров в час, при­чем путь до дома занял у нее боль­ше вре­ме­ни, чем путь до ин­сти­ту­та.

а)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки со­ста­вить 70 км/ч?

б)  Могла ли ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки ока­зать­ся рав­ной це­ло­му числу ки­ло­мет­ров в час?

в)  Какое наи­боль­шее целое число ки­ло­мет­ров в час могла со­став­лять ее сред­няя ско­рость за эти две по­езд­ки?