Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.
б) Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN = 1, AM + PN = 3 .
а) Обозначим
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому MO и NO — биссектрисы внешних углов при вершинах M и N треугольника MCN. Значит, 
а так как CO — биссектриса угла ACP, получаем, что 
Следовательно, 
б) Луч MO — биссектриса угла AMN, поэтому 
Значит, треугольник AOM равнобедренный, AM = AO. Аналогично PN = OP.
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r, а полупериметр треугольника ABC равен p. Точка O лежит на основании AP трапеции AMNP, поэтому высота трапеции равна r. Тогда
Поскольку 
получаем, что p = 7, а периметр равен 14.
Ответ: б) 14.