СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 526255

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что

б) Найдите KN, если а радиус окружности равен 12.

Решение.

a) Равные дуги стягивают равны хорды; вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Поэтому достаточно доказать, что Пусть угол КВС равен α. Сумма острых углов прямоугольного треугольника BНC равна 90°, поэтому Центральный угол ВОА в два раза больше вписанного угла ВСА, опирающегося на ту же дугу АВ, поэтому Наконец, треугольник BОА равнобедренный, поскольку AO = OB как радиусы окружности, поэтому каждый из равных углов при его основании АВ равен Итак, поэтому Требуемое доказано.

б) Заметим, что Тогда:

Далее, как угол, опирающийся на диаметр. Диаметр равен удвоенному радиусу: Тогда как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном треугольнике BKN.

 

Ответ:

 

Примечание Евгения Обухова (Москва).

Пункт а) это известный факт о том, что при изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимающийся в математическом кружке или посещающий факультатив по математике, узнает в задаче стандартную конструкцию: радиус описанной окружности и высоту, проведенные из одной вершины треугольника. Эти отрезки переходят друг в друга при симметрии относительно биссектрисы треугольника, исходящей из той же вершины. Поскольку при такой симметрии стороны угла также переходят в друг друга, угол КВС переходит в угол ABN. Отсюда и следует равенство хорд AN и СК.

Прямые, проходящие через вершину угла и симметричные относительно биссектрисы этого угла, называются изогональными. Материалы для занятия со школьниками по данной теме можно взять, например, в статье Д. Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники».

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Центр, За­да­ния 16 (С4) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Свойства ортоцентра
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · ·
Абдуллах Яндиев 31.05.2019 23:11

Добрый вечер!

У меня была точно такая же задача. Я доказал в пункте а), что прямые NK и AC параллельны. Cделать это несложно: берем угол HKC за α и получаем, что внутренние односторонние углы равны, а дальше все просто. И еще: так как нам углы изначально неизвестны, то точки A, N, K, C могут располагаться наоборот (то есть точки N и K меняются местами, в зависимости от расположения вершины B). Примите, пожалуйста, во внимание мои замечания.