а)  На­при­мер, число 9.

б)  Пред­по­ло­жим, что n  =  10k + 3. Тогда

то есть де­ся­тич­ная за­пись числа n² + 2n окан­чи­ва­ет­ся циф­рой 5. Зна­чит, такое не­воз­мож­но.

в)  За­пи­шем усло­вие за­да­чи в таком виде: пре­об­ра­зу­ем:

За­ме­тим, что n и n + 1 не могут од­но­вре­мен­но де­лить­ся на 2 и не могут од­но­вре­мен­но де­лить­ся на 5. Зна­чит, один из мно­жи­те­лей де­лит­ся на 5⁴ и один из мно­жи­те­лей де­лит­ся на 2⁴. Эти два мно­жи­те­ля могут сов­па­дать толь­ко в том слу­чае, если число n + 1 де­лит­ся на 10000, а число n четырёхзнач­ное, то есть n  =  9999.

Если n ≠ 9999, мы долж­ны по­до­брать два числа, одно из ко­то­рых де­лит­ся на 16, а дру­гое  — на 625 и одно из ко­то­рых боль­ше дру­го­го на 1.

Пе­ре­берём нечётные четырёхзнач­ные числа, крат­ные числу 625: 1875, 3125, 4375, 5625, 6875, 8125, 9375. Из них толь­ко число 9375 имеет вид 16k − 1, а чисел вида 16k + 1 среди них нет.

Зна­чит, ис­ко­мое число может рав­нять­ся 9375 или 9999.

Ответ: а)  9; б)  нет; в)  9375; 9999.