СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 526929

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, причем Через точку перпендикулярно проведена плоскость α.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является прямоугольный треугольник.

б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость α, если известно, что

Решение.

а) Введем координаты с началом в точке и осями, направленными вдоль ребер Пусть Тогда нетрудно найти координаты точек Значит, вектор нормали к плоскости сечения имеет координаты и уравнение плоскости имеет вид Подберем так, чтобы плоскость проходила через получим Найдем теперь ее точки пересечения с ребрами призмы.

Ребро Пусть это точка Тогда:

Ребро Пусть это точка Тогда и это просто точка Эти точки можно соединить, поэтому других ребер плоскость не пересекает. Тогда:

поэтому сечение — прямоугольный треугольник.

 

Возможно и чисто геометрическое решение. Прямая перпендикулярна грани поэтому прямая перпендикулярна прямой и лежит в сечении. Проведем теперь из перпендикуляр к до пересечения с в точке (она будет именно на ребре, поскольку Тогда  — искомое сечение и поскольку Координатное приведено здесь для того, чтобы показать силу метода координат в задачах на доказательство для человека, почти не имеющего геометрических знаний. Кстати, в нем сразу понятно, что точка лежит на ребре, ведь

б) Имеем:

Далее:

Поскольку сейчас то поэтому и объем равен Ясно, что это меньшая часть, поэтому ответ

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 199.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Прямая призма, Сечение -- треугольник, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой