Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 526931

На стороне AC треугольника ABC отметили точку D так, что BC= корень из { AC умножить на CD}.

а) Докажите, что углы BAD и СВD равны.

б) Найдите отношение отрезков биссектрисы CL треугольника ABC, на которые ее делит прямая BD, если известно, что BC=6, AC=9.

Решение.

а) Перепишем условие в виде BC в степени 2 =AC умножить на CD,  дробь, числитель — BC, знаменатель — AC = дробь, числитель — DC, знаменатель — BC . Тогда треугольники BCA и DCB подобны по углу C и отношению сторон. Значит,

\angle BAD=\angle BAC=\angle DBC=\angle CBD.

б) Из равенства 6= корень из { 9CD} находим CD=4,

AD=AC минус CD=9 минус 4=5.

По свойству биссектрисы

 AL:LB=AC:CB=3:2,

 

 BL:BA=2:5.

Обозначим за O точку пересечения BD и CL. По теореме Менелая для треугольника ACL и прямой DOB имеем

 дробь, числитель — AD, знаменатель — DC умножить на дробь, числитель — CO, знаменатель — OL умножить на дробь, числитель — LB, знаменатель — BA =1,

откуда CO:OL=2.

 

Ответ: 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Треугольники