Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 526938

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что \angle ALK=\angle CLP.

а) Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника APLK, если BC=4, AB=5, AC=6.

Решение.

а) Имеем:

\angle LPA плюс \angle LKA=180 в степени \circ минус \angle CPL плюс \angle CBA=

 

=\angle PCL плюс \angle CLP плюс \angle CBA=\angle BCL плюс \angle ALK плюс \angle CBA=

 

=\angle BCL плюс \angle CLB плюс \angle CBL=180 в степени \circ ,

поэтому четырехугольник LPAK вписанный. В равенствах использованы углы, опирающиеся на дугу AC, сумма углов треугольника PCL, биссектриса и условие о равенстве углов, вертикальные углы и, наконец, сумма углов треугольника BCL.

б) По свойству биссектрисы BL:LA=BC:CA, откуда BL=2, LA=3. Поскольку \angle BCL=\angle LCP=\angle KCA и \angle BLC=\angle CLP=\angle CAK (последнее равенство верно, поскольку \angle CAK=180 в степени \circ минус \angle PLK=\angle CLP), треугольники BCL, PCL, ACK подобны (первые два даже равны, потому что у них общая сторона CL). Тогда:

S_{AKLP}=S_{ACK} минус S_{CLP}=S_{BCL} умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — AC, знаменатель — CL правая круглая скобка в степени 2 минус S_{BCL}=S_{BCL} левая круглая скобка левая круглая скобка дробь, числитель — AC, знаменатель — CL правая круглая скобка в степени 2 минус 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 S_{ABC} левая круглая скобка левая круглая скобка дробь, числитель — 36, знаменатель — CL правая круглая скобка в степени 2 минус 1 правая круглая скобка .

Площадь ABC найдем по формуле Герона:

S_{ABC}= корень из { дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }= дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 корень из { 7}.

Найдём биссектрису:

CL= корень из { BC умножить на AC минус BL умножить на AL}= корень из { 24 минус 6}= корень из { 18}.

Окончательно:

S_{APLK}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 умножить на дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 корень из { 7} умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка дробь, числитель — 36, знаменатель — 18 правая круглая скобка в степени 2 минус 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 7}.

Ответ:  дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { 7}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие, Треугольники