Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527205

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках C_1, B_1 и A_1 соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника AB_1C_1.

А) Докажите, что C_1Q — биссектриса угла AC_1B_1.

Б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник AB_1C_1, если известно, что BC=9, AB=10, AC=17.

Решение.

а) Поскольку биссектриса проходит через центр вписанной окружности треугольника, точка Q — середина дуги C_1B_1 вписанной окружности треугольника ABC. Поэтому дуги C_1Q и QB_1 равны. Значит, равны и углы \angle AC_1Q и QC_1B_1 — первый из них равен половине первой дуги как угол между касательной и хордой, а второй равен половине второй дуги как вписанный угол, опирающийся на нее.

б) Как следует из пункта а), точка Q — пересечение биссектрис треугольника AC_1B_1, то есть его центр вписанной окружности. Поэтому нужно найти OQ=r_{ABC}. Вычислим:

P_{ABC}= дробь, числитель — 9 плюс 10 плюс 17, знаменатель — 2 =18;

 

S_{ABC}= корень из { 18(18 минус 9)(18 минус 10)(18 минус 17)}=36.

Поэтому r_{ABC}= дробь, числитель — 36, знаменатель — 18 =2.

 

Ответ: б) 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 243.
Классификатор планиметрии: Треугольники