а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

На ребре SD пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD от­ме­че­на точка M, при­чем Точки P и Q — се­ре­ди­ны рёбер BC и AD со­от­вет­ствен­но

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MPQ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MPQ раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон AB, AC и BC в точ­ках и со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла A пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке Q, ле­жа­щей внут­ри тре­уголь­ни­ка

А) До­ка­жи­те, что  — бис­сек­три­са угла

Б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки О до цен­тра окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник если из­вест­но, что

15‐го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

— со 2‐го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два ре­ше­ния.

а) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных делителей (включая единицу и само число n)?

б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.

в) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных натуральных делителей?