Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527240

В треугольнике ABC, где AB=BC=3, \angle ABC=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 проведена медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке M. Через M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно.

а) Найдите PM.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.

Решение.

а) Вычислим AC по теореме косинусов:

AC в степени 2 =9 плюс 9 минус 2 умножить на 9 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 =16,

откуда AC=4. По свойству биссектрисы в треугольнике ACD имеем

AM:MD=AC:CD=4: дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 =8:3,

поэтому MD= дробь, числитель — 3, знаменатель — 11 AD. Из подобия треугольников DMQ и DAC получаем:

MQ= дробь, числитель — 3, знаменатель — 11 AC= дробь, числитель — 12, знаменатель — 11 .

C другой стороны, из подобия BPQ и BAC с коэффициентом

BQ:BC=(BD плюс DQ):(2DC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (DQ:DC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 11 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 11

находим

PQ= дробь, числитель — 7, знаменатель — 11 AC= дробь, числитель — 28, знаменатель — 11 ,

откуда

PM=PQ минус QM= дробь, числитель — 16, знаменатель — 11 .

б) Вычислим сначала радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Его полупериметр равен 5, а площадь —  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 4 умножить на корень из { 3 в степени 2 минус 2 в степени 2 }=2 корень из { 5}, поэтому r= дробь, числитель — 2 корень из { 5}, знаменатель — 5 . Значит, у подобного ему PQB радиус равен  дробь, числитель — 14 корень из { 5}, знаменатель — 55 .

 

Ответ: а)  дробь, числитель — 16, знаменатель — 11 ; б)  дробь, числитель — 14 корень из { 5}, знаменатель — 55 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 246.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники