Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527326

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC в точке K и пересекает сторону AC в точке M такой, что AM:MC=4:1.

а) Найдите отношение CK:KB.

б) Найдите длину стороны AB, если радиус окружности равен 2.

Решение.

Поскольку радиус OK должен быть перпендикулярен BC, K — основание высоты из вершины A, поэтому O — середина высоты. Обозначим за H основание высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B. Тогда в равнобедренном треугольнике AOM отрезок OH — высота, поэтому и медиана. Обозначим AH=HM=2x, MC=x (из того, что AM:MC=4:1).

а) Поскольку угол AMK опирается на диаметр окружности, он прямой и прямая KM параллельна прямой BH, поэтому треугольники CKM и CBH подобны с коэффициентом CM:CH=x:3x=1:3, откуда CK:KB=1:2.

б) По теореме Пифагора для треугольника OMH получаем

OH= корень из { OM в степени 2 минус HM в степени 2 }=2 корень из { 1 минус x в степени 2 }.

В треугольнике KMA отрезок OH — средняя линия, поэтому KM=4 корень из { 1 минус x в степени 2 }, а из подобия треугольников CKM и CBH следует, что

BH=3KM=12 корень из { 1 минус x в степени 2 }.

По теореме Пифагора из треугольника BHC получаем

BC= корень из { 9x в степени 2 плюс 144(1 минус x в степени 2 )}= корень из { 144 минус 135x в степени 2 }.

Вычислим площадь треугольника ABC двумя способами и приравняем полученные выражения.

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BH умножить на AC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AK умножить на BC равносильно 12 корень из { 1 минус x в степени 2 } умножить на 5x=4 корень из { 144 минус 135x в степени 2 } равносильно

 равносильно корень из { 1 минус x в степени 2 } умножить на 5x= корень из { 16 минус 15x в степени 2 } равносильно 25x в степени 2 (1 минус x в степени 2 )=16 минус 15x в степени 2 равносильно

 равносильно 25x в степени 4 минус 40x в степени 2 плюс 16=0 равносильно (5x в степени 2 минус 4) в степени 2 =0 равносильно x в степени 2 = дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 равносильно x= дробь, числитель — 2, знаменатель — корень из { 5 }.

Значит, AC=2 корень из { 5}, BC= корень из { 144 минус 108}=6 и

 косинус \angle ACB= дробь, числитель — HC, знаменатель — CB = дробь, числитель — 3x, знаменатель — 6 = дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }.

По теореме косинусов для треугольника ABC получаем

AB в степени 2 =20 плюс 36 минус 2 умножить на 2 корень из { 5} умножить на 6 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 5 }=32,

поэтому AB=4 корень из { 2}.

 

Ответ: а) CK:KB=1:2; б) AB=4 корень из { 2}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 253.
Методы геометрии: Метод площадей, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники