Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527366

Дан треугольник ABC, в котором AB=BC=5, медиана AD= дробь, числитель — корень из { 97}, знаменатель — 2 . На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CE=5CF. Через точку F проведена прямая l, параллельная BC.

а) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC до прямой l.

б) Найдите, в каком отношении прямая l делит площадь треугольника ABC.

Решение.

По формуле для медианы имеем

 дробь, числитель — корень из { 97}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { 2AB в степени 2 плюс 2AC в степени 2 минус BC в степени 2 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { 25 плюс 2AC в степени 2 },

откуда 97=25 плюс 2AC в степени 2 равносильно AC=6. Обозначим за T точку пересечения прямой l с AB.

а) По свойству биссектрисы

AE:EB=AC:CB=6:5,

то есть ET= дробь, числитель — 5, знаменатель — 11 AB. Поскольку прямая l параллельна прямой BC, треугольники BEC и TEF подобны с коэффициентом

CE:FE=CE:(CE минус FC)=CE: левая круглая скобка CE минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 CE правая круглая скобка =4:5,

поэтому ET= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 ET и TB= дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ET= дробь, числитель — 1, знаменатель — 11 AB. Поэтому расстояние между l и AB равно  дробь, числитель — 1, знаменатель — 11 высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Эта высота равна

 дробь, числитель — 2S_{ABC}, знаменатель — BC = дробь, числитель — AC умножить на d(B,AC), знаменатель — 5 = дробь, числитель — 6 корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 24, знаменатель — 5 .

Найдем теперь радиус описанной окружности треугольника:

R= дробь, числитель — 5 умножить на 5 умножить на 6, знаменатель — 4 умножить на S_{ABC }= дробь, числитель — 150, знаменатель — 48 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 8 .

Обозначим центр окружности за O. Тогда треугольник OBC — равнобедренный. Найдем его высоту:

d(O,BC)= корень из { OB в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 BC в степени 2 }= корень из { дробь, числитель — 625, знаменатель — 64 минус дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 }= дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 .

Расстояние до прямой l будет меньше на величину, равную расстоянию между прямыми, которое мы уже нашли. Именно меньше, поскольку центр описанной окружности лежит на луче, проходящем через B и перпендикулярно пересекающем AC. Таким образом, получаем:

 дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 11 умножить на дробь, числитель — 24, знаменатель — 5 = дробь, числитель — 633, знаменатель — 440 .

б) Поскольку прямая l отсекает треугольник, подобный ABC с коэффициентом

AT:AB=(AB минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 11 AB):AB= дробь, числитель — 10, знаменатель — 11 ,

то площадь этого треугольника составляет  дробь, числитель — 100, знаменатель — 121 от площади исходного треугольника, а площадь второй части тогда —  дробь, числитель — 21, знаменатель — 121 от нее. Отношение получается 100:21

 

Ответ: а)  дробь, числитель — 633, знаменатель — 440 ; б) 100:21.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 255.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники