Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527445

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону KL в точке P. На стороне KM взята точка R так, что отрезок LR пересекает окружность в точке Q, причем отрезки QP и ML параллельны, KR=2RM и ML=8 корень из { 3}.

а) Найдите отношение LP:PK.

б) Найти MQ.

Решение.

Если бы L была вершиной прямого угла, то окружность касалась бы KL в точке L. Значит, KL — гипотенуза. \angle LPM=90 в степени \circ , поскольку опирается на диаметр окружности, поэтому P — основание высоты из вершины прямого угла. QPLM — вписанная в данную окружность трапеция, поэтому она равнобедренная и

\angle RLM=\angle QLM=\angle LMP=90 в степени \circ минус \angle PLM=\angle LKM,

поэтому треугольники RLM и LKM подобны. Поэтому  дробь, числитель — MR, знаменатель — ML = дробь, числитель — ML, знаменатель — MK , ML в степени 2 =MR умножить на MK, 192=3MR в степени 2 , MR=8, MK=3MR=24.

а) По свойству высоты прямоугольного треугольника:

LP:PK=LM в степени 2 :MK в степени 2 =192:576=1:3.

б) Найдём MQ:

MQ=LP= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 LK= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 корень из { LM в степени 2 плюс MK в степени 2 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 корень из { 192 плюс 576}=4 корень из { 3}.

 

Ответ: а) 1:3; б) 4 корень из { 3}.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 261.
Методы геометрии: Свойства высот
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Треугольники